ЕГЭ по математике: самые сложные задания

# ЕГЭ по математике: самые сложные задания

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике — это важное испытание для выпускников школ, которое определяет их возможности поступления в вузы на различные специальности. Экзамен включает в себя задания разного уровня сложности, и некоторые из них могут вызвать затруднения даже у самых подготовленных учеников. В этой статье мы рассмотрим самые сложные задания ЕГЭ по математике и дадим советы по их решению.

## Структура ЕГЭ по математике

ЕГЭ по математике делится на два уровня: базовый и профильный. Базовый уровень предназначен для тех, кто не планирует продолжать обучение на математических специальностях, а профильный — для абитуриентов, поступающих на технические, экономические и другие специальности, требующие глубоких знаний математики.

Профильный уровень ЕГЭ по математике состоит из двух частей:

1. Часть 1 содержит задания с кратким ответом в виде числа или последовательности цифр.
2. Часть 2 включает задания с развёрнутым ответом, где необходимо подробно расписать решение.

## Самые сложные задания ЕГЭ по математике

Среди заданий ЕГЭ по математике можно выделить несколько, которые вызывают наибольшие трудности у выпускников. Рассмотрим их подробнее.

### Задание 18: неравенства с параметром

Задание 18 в ЕГЭ по математике профильного уровня часто включает неравенства с параметром. Это задание требует глубокого понимания свойств функций и умения анализировать различные случаи в зависимости от значения параметра.

Пример задания:

Решите неравенство \( \frac{x^2 - 4}{x - a} > 0 \) для всех значений параметра \( a \).

Решение:

1. Найдём нули числителя и знаменателя: \( x^2 - 4 = 0 \) и \( x - a = 0 \).
2. Решим уравнение \( x^2 - 4 = 0 \): \( x = \pm 2 \).
3. Решим уравнение \( x - a = 0 \): \( x = a \).
4. Определим знаки дроби на интервалах, на которые разбивают числовую ось точки \( x = -2 \), \( x = 2 \) и \( x = a \).
5. Проанализируем различные случаи в зависимости от значения \( a \) и определим интервалы, где дробь положительна.

### Задание 19: задачи с экономическим содержанием

Задание 19 часто включает задачи с экономическим содержанием, требующие умения моделировать ситуации и применять математические методы для их решения.

Пример задания:

Вкладчик положил в банк 100 000 рублей под 10% годовых. Через год он снял часть денег, а оставшиеся деньги продолжил держать в банке. Ещё через год на его счёте было 118 800 рублей. Сколько денег вкладчик снял через год?

Решение:

1. Обозначим сумму, которую вкладчик снял через год, как \( x \).
2. После первого года на счету вкладчика было \( 100 000 \times 1.1 = 110 000 \) рублей.
3. После снятия \( x \) рублей на счету осталось \( 110 000 - x \) рублей.
4. После второго года на счету было \( (110 000 - x) \times 1.1 = 118 800 \) рублей.
5. Решим уравнение \( (110 000 - x) \times 1.1 = 118 800 \) и найдём \( x \).

### Задание 20: задачи на теорию чисел

Задание 20 может включать задачи на теорию чисел, требующие умения работать с делимостью, простыми числами и другими числовыми свойствами.

Пример задания:

Найдите все простые числа \( p \), для которых \( p^2 + 1 \) делится на 5.

Решение:

1. Рассмотрим остатки от деления \( p^2 \) на 5.
2. Заметим, что \( p^2 \) может давать остатки 0, 1 или 4 при делении на 5.
3. Если \( p^2 \) даёт остаток 0, то \( p^2 + 1 \) не делится на 5.
4. Если \( p^2 \) даёт остаток 1, то \( p^2 + 1 = 2 \), что не делится на 5.
5. Если \( p^2 \) даёт остаток 4, то \( p^2 + 1 = 5 \), что делится на 5.
6. Таким образом, \( p^2 \) должно давать остаток 4 при делении на 5, что возможно только если \( p \) даёт остаток 2 или 3 при делении на 5.
7. Проверим простые числа, удовлетворяющие этому условию, и найдём все подходящие \( p \).

## Советы по подготовке к ЕГЭ по математике

Для успешной сдачи ЕГЭ по математике необходимо тщательно подготовиться. Вот несколько советов, которые помогут вам в этом:

1. Изучите структуру экзамена и типы заданий. Понимание структуры экзамена поможет вам лучше организовать подготовку.
2. Решайте много задач. Практика — ключ к успеху. Решайте задачи из демоверсий ЕГЭ, сборников заданий и других источников.
3. Анализируйте свои ошибки. После решения задач анализируйте свои ошибки и работайте над их исправлением.
4. Используйте дополнительные материалы. Помимо учебников, используйте дополнительные материалы, такие как видеоуроки, онлайн-курсы и т. д.
5. Не бойтесь просить помощи. Если у вас возникают трудности, не стесняйтесь обращаться за помощью к учителям, репетиторам или одноклассникам.

## Заключение

ЕГЭ по математике — это сложный экзамен, требующий глубоких знаний и умения применять их на практике. Однако тщательная подготовка и практика помогут вам успешно справиться с самыми сложными заданиями и достичь высоких результатов.